Union de probabilités - Formule du crible - Formule de Poincaré
Formule
Deux événements
Formule du crible, formule de Poincaré : $${{\Bbb P(A\cup B)}}={{\Bbb P(A)+\Bbb P(B)-\Bbb P(A\cap B)}}$$
(Union - Réunion, Intersection)
Trois événements
Formule du crible, formule de Poincaré : $${{\Bbb P(A\cup B\cup C)}}={{\begin{align}&\Bbb P(A)+\Bbb P(B)+\Bbb P(C)-\Bbb P(A\cap B)-\Bbb P(A\cap C)-\Bbb P(B\cap C)+\Bbb P(A\cap B\cap C)\end{align} }}$$
(Union - Réunion, Intersection)
N événements
Formule de Poincaré :$$\begin{align} {{P\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right)}}=&{{\sum^n_{k=1}\left((-1)^{k+1}\sum_{1\leqslant i_1\lt \cdots\lt i_k\leqslant n} P(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k})\right)}}\end{align}$$
La démonstration se fait par récurrence sur \(n\)
Formule de Poincaré :
Si les probabilités \(P(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k})\) sont toutes égales pour \(1\leqslant i_1\lt \cdots\lt i_k\leqslant n\) et \(k\in\{1,\ldots,n\}\), alors : $${{P\left(\bigcup^n_{i=1}A_i\right)}}={{\sum^n_{k=1}\left((-1)^{k+1}\binom nkP(A_1\cap\ldots\cap A_k)\right)}}$$
Formule du crible, formule de Poincaré : $${{P(A_1\cup\dots\cup A_n)}}={{\sum^n_{j=1}(-1)^{j-1}\sum_{1\leqslant k_1\lt \dots\lt k_j\leqslant n}P(A_{k_1}\cap\dots\cap A_{k_j})}}$$
Intérêt
Pour calculer la probabilité de l'union d'évènements, on utilise la formule du crible (ou formule de Poincaré)
